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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 WTxz9#  
c &{Z`pT  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ids/GU @2'  
rJv*)qKB  
  1、三角函数本质: / .[Xk  
GJgj3qB  
  三角函数的本质来源于定义 7;Mj8rX`_T  
s< >J-L;-S  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 2Pf) 6c  
l_t x.1t  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 6qR]R@a-'  
by2QqYDpr  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: O|4% UU.  
7Xa,`%(k  
  推导: #4l}G5!  
1Wbj?)gZ  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 vMh ,9y\u`  
=]Ws9L  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 13RS>u  
D6)6W(  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) K,<S'X0ys  
BKJT Y;  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 @xsAvi|}  
r '|.F  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) DSUbR%#:,A  
,p PTv"  
  [1] '5p %\{o^  
`KFe YN<.  
  两角和公式 3jZSV&C2(  
,![U]|  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \IO-p  
}A)qx  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `"{3F2  
oDJw!Fiv  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ccm)M  
zQxP'$S  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB GC9FCn]  
ES- &r/  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) f<NRM  
t/5\>8[S,  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) &s(:+#*  
0>DX77'7  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  `xnPH-r6  
;r 6FJ  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) '3tQHIf  
*E4)rW  
倍角公式 )d/jM lu  
Kpg2 7-  
  Sin2A=2SinA•CosA xT{"x4+  
H3!EkGW }n  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 DmX>!/]  
2#K7_)`!w  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) =WQy]vB<  
0AEH'Y  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) UaC?$t8b  
?:B2)j(?Z;  
三倍角公式 Fs-Nx%  
*(SHe"#  
   ZoxI] e  
MLzLAq{  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Or90l#gxB  
Em)Gj"L q&  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jmCi #Ki  
@<6^sD_Pl  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %~9m~ps  
=A. <;V  
三倍角公式推导 %j+tnT9  
@GBoIh-Kp  
  sin3a oTy] YD15  
yM Siv7UH6  
  =sin(2a+a) {VxE)[  
6$oaf%S5%  
  =sin2acosa+cos2asina /;:8>IeAL  
fIOX3B&^  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Mweb<F0++  
^DpQr|:'jy  
  =3sina-4sin³a 2Mr0N`C-  
jjt8^U6  
  cos3a nS6N:(o  
 F0j MF  
  =cos(2a+a) sbdsdx$+7  
&$H9w|z  
  =cos2acosa-sin2asina l4HCTLk  
A_=v w"  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <}P }?d  
-90 baX  
  =4cos³a-3cosa , $5G >  
xu$wJ3L?k  
  sin3a=3sina-4sin³a })MaN>1]Dw  
;tW6.)q>  
  =4sina(3/4-sin²a) Ap|Jo)d^|  
@2e*)_a~  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] |M}p?(~k  
m'LbR*iT?  
  =4sina(sin²60°-sin²a) Z jqar]o  
#I]o7b h  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) a7M<= PW  
<gBa  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 7b%7$x9  
_df'A^k,Q  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) dJAU[ga  
$#dw($/  
  cos3a=4cos³a-3cosa , <@$nM W<  
ME<'@1[S  
  =4cosa(cos²a-3/4) "2DQNYD-/  
eznvQ>  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] @="M,v]q  
_l_a~3'Sg  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) :wb-&oP  
d mT@s  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) U8/azcoR>  
`?)m(WO  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} E'** U.rei  
OsEM@W<{R  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 67C=$]Pa15  
#4gchq_p1^  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] q#<K:c  
|VL4$ uE  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] !Wq|Z_'6]  
Fk2&yl4M  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) uocY:Gf  
p*>'dr Cd  
  上述两式相比可得 z?Ao@k1X  
`<ug0 I$  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) pD bOoqJ/  
zmymEG.{$  
半角公式 yx*A#DPe5%  
6b@[lFKF5  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); f Ng@jT  
uJd%KVe<M%  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. LI5{k-L#_h  
U)nuNEb  
和差化积 giYG#f0 {  
-$zl  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _~M`ccLC:  
!64ubZC  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1pytbxa  
DRE~ 1  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *jTY-r?  
!j'y>0JmQ  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] c#xI)Ato5  
plgx3?2  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) W Q#WQ=jU  
5.gz{F"_  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Af> Xw  
"Gx59,8  
积化和差 C5dNF| 4  
f*$0I'wpy  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] &4fGs5_(mU  
(O~v|eOQ#  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 1Q\ wC"4  
}YsBre(  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] t1X?#Y7  
IQUS" ]  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] (6W0Yga-G?  
:I{:|nW  
诱导公式 7=+ f^ c  
Gs+8 U#  
  sin(-α) = -sinα yVs^7ws0I  
OgQC`7 n0  
  cos(-α) = cosα kP>kpG4  
r 'x-b  
  sin(π/2-α) = cosα W'>AH[uf:  
XO6! ZH*  
  cos(π/2-α) = sinα 6r^,*  
6}~KrV3o  
  sin(π/2+α) = cosα JdgTI>,  
A=,/fIR  
  cos(π/2+α) = -sinα !w ]4#P  
loR| %yu  
  sin(π-α) = sinα Ro%gh`<u/  
<qZ/or2  
  cos(π-α) = -cosα 3RqMU =}Mw  
9_7ZaHCg  
  sin(π+α) = -sinα '-L$xF"  
(vLhT  
  cos(π+α) = -cosα 2/ ;(X\"  
+/AH  
  tanA= sinA/cosA R97 A}lC  
i:X 6?(e]c  
  tan(π/2+α)=-cotα $IS\k%}O  
B&.z7#+  
  tan(π/2-α)=cotα ox (r,>?f  
G3BF"RX=V  
  tan(π-α)=-tanα z}"<k;o-n  
,<+Q""j| X  
  tan(π+α)=tanα =wK+i]  
c@~#Tr5(  
万能公式 'YO1i7m O-  
4rpal L  
   +uSduq_  
nHc`Z>  
其它公式 cmAK~77 Y  
<8V~9[n  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 hzqHK6f  
//4DjJ\~OH  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 +nT)bXS  
3LQ=.%1  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 S(G"y&o  
MX|/J=v  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 lXEM7jnQ  
^[~HK{  
  对于任意非直角三角形,总有 4(m5"T5>  
,BFw,)?I  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC NFZo7atg^  
Y tv}%Lz  
  证: CGLi7U7  
`Yfk_ $J  
  A+B=π-C (+Zxcm-7|  
b&Rn "^  
  tan(A+B)=tan(π-C) O_UIK]X_  
xCBg oy  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) k I&/web  
P VWF-  
  整理可得 #v<TrD_}  
/82Rn?B'i  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (n \r WX2  
X y%wZ  
  得证 D{i) gQ1  
2rkb5V^  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 LsWW\sG  
EZ0YU@U;  
其他非重点三角函数 ;:;:(Qp  
w!]`Fg0_Zd  
  csc(a) = 1/sin(a) dQUG4Nbq5!  
'2FvNM  
  sec(a) = 1/cos(a) ;1@){~A  
w_$>EbC`0C  
   0%IVcg7S<  
VFe]* }QF  
双曲函数 7cprF  $  
ifY+kJ!f  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -WZ?5]<  
{I 8*cT  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 S78]R!\  
`(!9  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b~2<=v8<  
NHhJ@D|:  
  公式一: ]+V3?9+j  
jiy 7Vfv<  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ".EyWZAcE  
(W@z&\:  
  sin(2kπ+α)= sinα T((5SD{:Y  
`B ]ZxWM.]  
  cos(2kπ+α)= cosα (q+|zlx  
i4[>}6mE1  
  tan(kπ+α)= tanα . +6 @}  
Pon8%>$!  
  cot(kπ+α)= cotα I>1:%?. u  
</3&,0  
  公式二: bu= M   
T()O;)I  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: ^;DDBbP  
AD7(nQs-W  
  sin(π+α)= -sinα P6A$Yt  
YkD #jf)  
  cos(π+α)= -cosα ]=?c$Iw  
DO~@0  
  tan(π+α)= tanα g'0Imrq(Y  
,\j &I5Z  
  cot(π+α)= cotα }x7C(@# L4  
l.~V`)E8_n  
  公式三: B{stRc6k  
`l *=A,  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: U3i`Y   
LRNQ,s2Sx  
  sin(-α)= -sinα WB9C1%2 *  
b%RC, Jup  
  cos(-α)= cosα 5cRdJd  
@LyNyao  
  tan(-α)= -tanα 8nj] M~  
w^UNZ.Zq.  
  cot(-α)= -cotα )%.fPnP  
7A ]b1g  
  公式四: Iih|r)E  
"O{TBf}O.  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 'u2Xwi<TSm  
20`2YM  
  sin(π-α)= sinα Nbm!O1 L  
x3<n;9k[  
  cos(π-α)= -cosα a025"`;L  
'OZrf\n7  
  tan(π-α)= -tanα G{(+6pv  
m?,D-n|  
  cot(π-α)= -cotα u~/eu)Z  
Z#`E'v[5Y  
  公式五: [] mP?^%)M  
9)6=5P  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: A:Nz1  
k$j!9b->  
  sin(2π-α)= -sinα " |F0,N]  
oQF>YI \RG  
  cos(2π-α)= cosα 3L\.BsnX  
{# RJ$j  
  tan(2π-α)= -tanα du>]dAz  
i*Y _6!  
  cot(2π-α)= -cotα 7{ ]*f  
SL_L/z  
  公式六: aUiYL9ZuC  
Mad< R:s  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: RSM Qo.V20  
%+,mkTju  
  sin(π/2+α)= cosα W!,*Jp  
m *S~%!pL  
  cos(π/2+α)= -sinα gVK8gm(iJ  
WxSm$"fB<  
  tan(π/2+α)= -cotα nI3 K u}  
@Ry|sknpV  
  cot(π/2+α)= -tanα Us0}ce)|n  
PvCp ~Q  
  sin(π/2-α)= cosα b3>?jiR7  
+h4W\r}b  
  cos(π/2-α)= sinα  E+ ]{!  
7LV)6H;u%  
  tan(π/2-α)= cotα kj 4&xLX  
{LH*g<T%y  
  cot(π/2-α)= tanα g@ hpSc1  
4TE2{"3+  
  sin(3π/2+α)= -cosα 3rt]Y+P*Z  
VmYL6lG0)  
  cos(3π/2+α)= sinα Tp@$^um5-  
A |O396  
  tan(3π/2+α)= -cotα Ig%/WhR=R  
/M5lf,t</`  
  cot(3π/2+α)= -tanα A"~ .r  
+l?}D"/*  
  sin(3π/2-α)= -cosα KYqm@(W  
hP7`5&F^  
  cos(3π/2-α)= -sinα Qwm~c}  
nm?'{B4  
  tan(3π/2-α)= cotα Ij&uN>g  
@ANs[p&  
  cot(3π/2-α)= tanα ygfN&n/  
l` :jCT%  
  (以上k∈Z) u =".7  
G2c mf64vR  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D9VL.6D  
Nh7f:`%:P  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = g`d: G  
.L*%7OqA%  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } V~D"@  
6Y]a1zJB  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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