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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 < )[N]%  
"wVeQU .  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. &D1fhYWc  
K^AOK9  
　　1、三角函数本质： =:xFn7W  
.l|a)^N  
　　三角函数的本质来源于定义 % )S[M  
T!,{3Fn  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 g7zX5-A  
}!Dp8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 EbDpl,qo  
< 0S]g}Cg  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^) Si>Xy  
uRgX;nW  
　　推导： MNs/8?AYM  
J{Um,<Ly  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 gh2um  
,4(Ip gKI  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) gvGUf0'<  
Y57N-Nu  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Cs/ yQi  
& xa^V0  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [0ODj OCf  
l2~zz%  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） J;@7o+sw  
w=tTs"SxLY  
　　[1] 4*iJ    
E/JG1 q:O  
　　两角和公式 dUC=RVl[  
.%7:tV'y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB a}9'3YL  
51wpud 03  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +&5`2hEa  
JrKG6:2  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +3~[N@G;  
]`;Ax@n  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ab[sr:  
rhK%m$Qs  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) #Q9T7k  
7vWP&1C  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ZQv/rbt  
e@@Sc&;@t  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -fUzKrT<A  
tX,kLs{p  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) YcQ5|(O'  
YkiGh  
倍角公式 ; ^3rk Rt  
gOuE"$u  
　　Sin2A=2SinA•CosA |bj3 +FX  
/YxyfP+j  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 %{ GPLIoQ  
zJ8=K  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） CV~c.t |  
2x, =ycqt  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） t4eU?Gp  
2z$IN6tA#  
三倍角公式 {vI^ nu)V  
.Ot)I(`<  
　　 cu(MAV4\  
t^gwQ  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) YwadZ7%U%  
AI"Pnx+^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) *P.8r^ K  
gk:X;24yP  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ?`S ~N  
lkX)V' 7  
三倍角公式推导 45 i'y  
? ut'  
　　sin3a K:+"4Kn G  
 NhkvZ  
　　=sin(2a+a) a5A]iY{.d  
d}[YBP.U  
　　=sin2acosa+cos2asina w|_[=:@  
u YzsI(r  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 8 <SgX  
kEp  
　　=3sina-4sin³a  tJ^tO(f(  
c\nJ2?"D  
　　cos3a g4GafmV  
1(/$gZ>  
　　=cos(2a+a) +i&z4(X[  
xU&gRZEPa  
　　=cos2acosa-sin2asina a-Mg4iOU  
~"1 k`A]q  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa l@;.9@  
4jCfW f5p"  
　　=4cos³a-3cosa (g`|t?hv  
>$M4w{<i  
　　sin3a=3sina-4sin³a U~J `N"jv  
g5r2 Vv  
　　=4sina(3/4-sin²a)  &10%1W#  
q!qsrV|\  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Qrbxz k  
/)f3*uS  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 1@bC"-e  
"l(/( L42  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Ok*eW4  
'D3`,E0tk  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] c Y )W%P+  
w*G?V&hi  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ~aUxhW  
/:(-j%5  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 6 j;,x  
E+*k{#e5l  
　　=4cosa(cos²a-3/4) MZ7DD4gL  
6V968e/n  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .G5DObM\  
tWC==AB10  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) SKU#=- O  
!Ih2zn.KZ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) /x^rH1 s  
VJ{ +b"GZ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f*X)6:  
g=g&$0coa  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) p[K#2b*a  
:ZC ;Y~|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] l.-d3 V  
 Gce8Xe  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Y4j|9&"i  
Z|Q 3Z$  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) s+4/yt00qR  
{9Kq~,  
　　上述两式相比可得 8{N<X+es  
+dv r,4y  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) M O F>U`  
F KltDE  
半角公式 jkMIa52   
,h]#1j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ^xdR<P19l3  
T&e9$j#l  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. agw`~i@Vmj  
dud7/ Q  
和差化积 ,Ms-G7&N  
D|&<GQ?  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q6iBYygW  
2:4_2.p6  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <k}fMT>  
L{WqvSmW  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bJ:;o A?  
]Vw-/=!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] E{zFrC @ P  
Xkp,YOI:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !a/dT< D  
TuW$.yy   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) R6UTL0V*&'  
,`rdca G)  
积化和差 0 /=pY-  
L;\9,T  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u.sJTvj*Q  
KEY;aB2  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] vCU;<KTQia  
W)$f!d  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #_7JkI)El  
OTeC]n{  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2ZJpuaa3k~  
E2c+n.  
诱导公式 a% ?/ fj  
&u{6:kS;  
　　sin(-α) = -sinα k=d&j.[&  
wil S/)P&O  
　　cos(-α) = cosα :Vnw\K  
I/b2c  
　　sin(π/2-α) = cosα D| U{>-L4  
mTMC?/U_W  
　　cos(π/2-α) = sinα 3v=2+  
V VBxi{  
　　sin(π/2+α) = cosα hkT)0JS_  
am`+^?  
　　cos(π/2+α) = -sinα ft|#Shp i&  
dD707,v  
　　sin(π-α) = sinα 46%]*A+#U  
57B'9!2xaR  
　　cos(π-α) = -cosα "aJyqE  
1gwa94=  
　　sin(π+α) = -sinα ^$>Han  
A 0N?  
　　cos(π+α) = -cosα | UT C  
(^r$G6%k|  
　　tanA= sinA/cosA "J ;+8  
~.`u 2PwF  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα %5;$R51  
J/wQjo@  
　　tan（π/2－α）＝cotα Op.83W4+EG  
}L\LTu1~  
　　tan（π－α）＝－tanα &frdL%  
OXojk]iw  
　　tan（π＋α）＝tanα KwT6*'<r  
{ HN4K >  
万能公式 }f M=Bu"  
E J}W`o  
　　 fQ= iar1{c  
-R~`GX!e$  
其它公式 >L+E@ky-Hh  
aTZ\SEU  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Msnf;p_  
,.4P^Z   
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 [)WoBp  
E( dlS2H  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 {G1S+4G  
`8k2V]x,v  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ycxmS!-4  
mYc`c9&}  
　　对于任意非直角三角形,总有 sNe!iV|f%  
V4&P\0w_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC nz6,W  
pv,N4|J'  
　　证: L5@i x  
6 ,| 2uG%p  
　　A+B=π-C J tf+2*  
z1#&Lgi(,  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5HQmFwf  
)x 8m;h  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) kQp-.ad  
vf9ZVmgW  
　　整理可得 9d%,[_  
(J,0 % Y<g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y g2lS1 +  
P+(C%=  
　　得证 BF_A4;U@|B  
olQ\fO@'C  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 jSEZ (  
Ovm{ u  
其他非重点三角函数 ( H5Gr"  
FM> ~$;  
　　csc(a) = 1/sin(a) W8iuSn`TM)  
4&{4YbR%W  
　　sec(a) = 1/cos(a) AfWg;wG  
y= 0i l/  
　　 m2f'4g\  
?_*^%jd  
双曲函数 ~.WuVXH]l  
F%w?07r+  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 qTE7#q7<  
mf2qC>F  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #{]M3W78  
zo #{i\~o  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Q)wjkw+  
$?ACgQl-  
　　公式一： G{U{m-t  
pw;}9y  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： -tmN/.6^  
,7tkp53  
　　sin（2kπ＋α）= sinα !/:U)Ha9  
-2:!U<~Y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^>JQ^Uq8:  
MaBa[.aQng  
　　tan（kπ＋α）= tanα cV)4nXp  
`GYvs/m  
　　cot（kπ＋α）= cotα +h.L:8lE6  
dpHBIo|Id  
　　公式二： {7/ KX. P`  
.zNC#`L!3  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： \Q Y+&!5  
Uq9YZF  
　　sin（π＋α）= -sinα dt^hzYL  
r)UDuwSd  
　　cos（π＋α）= -cosα pR%$#go2>  
eO5~s  
　　tan（π＋α）= tanα *pws1@pp'  
oV|nwC]  
　　cot（π＋α）= cotα egz;}D~L  
\fKKsYG-pk  
　　公式三： ?F/y>j|  
n^@P paW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @-*?c,/7  
((JqQy Z  
　　sin（-α）= -sinα c`.p["b5  
8tw}u$NzF.  
　　cos（-α）= cosα G*Iv";e  
n^Lq@o`E>  
　　tan（-α）= -tanα pK^r nQS~  
iXc_= A  
　　cot（-α）= -cotα fyj(nPK  
aDNQAJ^  
　　公式四： T!W9RE"$,  
;MFd`  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： oT/),0^=  
P?A5G2  
　　sin（π-α）= sinα  TpIF  
Vs${# ^%v]  
　　cos（π-α）= -cosα pE$zt  
kYHh`u_x|M  
　　tan（π-α）= -tanα /eU VQ=  
]=Xd,ln  
　　cot（π-α）= -cotα  </btw  
9JYto7/J}i  
　　公式五： rJe+~6$} 0  
Hf(p"\  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： <\-A#(Y  
L S[ 2  
　　sin（2π-α）= -sinα o>7_,  
"0qqp  
　　cos（2π-α）= cosα lB3hpGh8  
^hm1b=~  
　　tan（2π-α）= -tanα (ilmjs7P  
MG9^dG  
　　cot（2π-α）= -cotα T Dk |E  
Wda1CU  
　　公式六： 3tgBT>&X  
*$UA` N  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： >;+xu?;#X  
H[lD&fE  
　　sin（π/2+α）= cosα O(!Z<4x,  
Jt^[<3x"  
　　cos（π/2+α）= -sinα pXX52@qZIG  
dt]) jnsM  
　　tan（π/2+α）= -cotα UHZB.q`B~  
@~<)& #4  
　　cot（π/2+α）= -tanα b!ssy^%  
\@E{+@  
　　sin（π/2-α）= cosα <<OIGr<  
E*<9  
　　cos（π/2-α）= sinα $cd)tc-  
z\{Bs[y  
　　tan（π/2-α）= cotα X"W%+z~dE(  
cz}]s}Vr[  
　　cot（π/2-α）= tanα Ii  x  
L=>]%QJLc  
　　sin（3π/2+α）= -cosα tPM?pF/P  
D72o!R^  
　　cos（3π/2+α）= sinα cy%(3?N??  
t8E<M)E1  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ji._*KPP  
WB"d Ig  
　　cot（3π/2+α）= -tanα :vZ=)VQ,  
` x ;t_Oz  
　　sin（3π/2-α）= -cosα VfNpzL+  
'c6J+j  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 7C]IhX9  
A+e_i1_R  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^'?6BOu  
>@J6~!;x  
　　cot（3π/2-α）= tanα j]bY'9z  
gX_o67`  
　　(以上k∈Z) be eedXh  
Sk?I!K  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 V'zeRCL#\  
X y mB4}  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = VCf3(*7  
l)Bq8Aj5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #NK7lp:F  
AAkZI3VF  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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