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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^yj /U+6  
|0r WY5aW  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ubC?Z~x>,  
1'?xb_e  
　　1、三角函数本质： a*, D=VcE  
kn >C  
　　三角函数的本质来源于定义 H&S%I]=A  
G#HfH<8/j  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 umV"p,-"7  
j?9K^PElN  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ;oD,Cbl=m7  
{~zKRfu~}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： +g8*VqH#t`  
ZkOf x{;  
　　推导： iW*TRk0 wO  
Qh"#&R  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 74DT-qOS  
5mZ"9-Ut  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) UjD0~C8AL  
_Xu91-m%  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) l]Btmb~W|  
@$wiJ]  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 p'6$>e  
'4-M  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )aA`I$  
uS_Oe-Dv.  
　　[1] fpo.XP}  
6bW!#Gzs  
　　两角和公式 SZg&}R9  
StCW0S  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB KL3t'}xO  
C> =O/@  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  MW*u} t[  
di h\9 2B  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }5UOd  
S9,|n64M  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $I ZTr$4N  
KN<R[_5 i.  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) u+lJ6uu  
1IWQD'Cz/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) uFq$5Q8  
%Wrh7" K  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  K~80346Hb  
~/ 7*i  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) amw* [kA@  
iBm rxB'  
倍角公式 $V1dV40 ,  
lW?Gi?VZn  
　　Sin2A=2SinA•CosA n&/@9  
NJVgN%$>)/  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HDt6p5"K  
yq=m( +  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?4^y-C"$  
 %$my  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） t>7DT(x>&  
T7mTq17  
三倍角公式 AVlrhd+r[  
#[39 ~U  
　　 HO6A 1  
QcvNFtT  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) !w@RK(8"L<  
U6Fhs35zl  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]jT;Ai  
tH&X+3z  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mm_EvH36l  
3KNak}^9  
三倍角公式推导 zlvgot$%  
[xpf_i{  
　　sin3a ' ^a5+>L(  
z'049#=4  
　　=sin(2a+a) 1n6xMo4~  
M3 \5tw|  
　　=sin2acosa+cos2asina + )%a~  
~,H:6Z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina kJZ&A1}Q  
_Og_ =S;  
　　=3sina-4sin³a p`*_.O?  
V]$=)  
　　cos3a kC=\#(  
Slasam0oQB  
　　=cos(2a+a)  s }byEb  
H)a^&qbj  
　　=cos2acosa-sin2asina Lyj>5LKI;  
Wi.vg<%  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa <-*+9m&]R  
cf,<D,!m  
　　=4cos³a-3cosa Cd ;5hX  
bI/`J  
　　sin3a=3sina-4sin³a IF(Q.(,f  
u ikIl  
　　=4sina(3/4-sin²a) (z.0@A-^  
4(p$_t A  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] =B18o:  
X_~|{gk)Xq  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) C+fe0ui'O  
=  T-  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) tj[qz>g  
}#nOB:d($  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :0,;M_  
xy*]04k  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)  gL Qd  
_Qy+~A Hk  
　　cos3a=4cos³a-3cosa E[gnG,<  
y( ~6H  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 202jhN  
Br6 [Sy  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] tJx@ <!  
%"a`'~ pNf  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) )KM(f~l(  
m?TKu>{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) W(k!cuy<A  
@]\S:c!ZC  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} `ov{6aw  
n`t[O  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) "|+p_-1t  
}xd/)t  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 7=K$J K%  
"3 '@(mu  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,JG%TR/  
G:^D=r{B  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) R2*(e]7,  
70 j~HV*]  
　　上述两式相比可得 #pirhNY  
;R0M%{y<F  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R|v}%j  
?K+"Wx:*3  
半角公式 A<k[O>  
q*Yct|5  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); oy0Y~  
v/u ]5g  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. r-55@zPK+  
/*;5#&&m?  
和差化积 ^'VVo  
SO:KA;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \l&BkNlv  
Z04\ I'U  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +Qd; `;  
3t r0H5^6  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ((??GiOV  
[[ \y;rV  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ^I? P!.|  
gJq+p!h 3q  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^$;95J  
H}hJ7y)V$  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) n#`p3:? K  
|p\U$C2  
积化和差 a+FLQx{j  
* yl 6  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] c8Nl!xYK)  
ihl vUX+ 0  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] #m{!w%|  
}bo7J: qz  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] .wHJO[S!  
`Q%J&Wa  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] )D+0yg3'!1  
/RzOe Yk5-  
诱导公式 ;[(l 2>  
HtyVz?  
　　sin(-α) = -sinα V>h=4JV  
"AG) t}4b  
　　cos(-α) = cosα < ,jD2U  
Dcx ce3s/  
　　sin(π/2-α) = cosα AM.7  
;Q,a_9eT  
　　cos(π/2-α) = sinα R*? j~wf  
SI~42 j"m)  
　　sin(π/2+α) = cosα Bc{-}9etj  
:z=D11/  
　　cos(π/2+α) = -sinα L^iBt F4  
"HiOI](|>9  
　　sin(π-α) = sinα :3U$diQ^  
gCV-l/x8R  
　　cos(π-α) = -cosα 0gfSFNG  
{qNLLi  
　　sin(π+α) = -sinα 8p p39dW4H  
H3y}N:Ia  
　　cos(π+α) = -cosα F +DC  
x|BKy   
　　tanA= sinA/cosA * y%qL2{  
'%} j  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα f|D4t%Bc  
5zZ uwXQ  
　　tan（π/2－α）＝cotα CK7!x)4]  
,tRxM\F  
　　tan（π－α）＝－tanα >Km<hzHM  
{)y`AM|  
　　tan（π＋α）＝tanα IiBJS7q_  
VDL~ hRr  
万能公式 aX!1QyU8E  
{y[c%PM  
　　 &XanKUPQo  
L~|iH@fs`  
其它公式 X 3-U/;ae  
UuS<bx=Gb  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 UHHuOufH  
m3zl(z  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ['o$m0l*  
{2]ZvfB"  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [Nv7j= 1)A  
,/ySRPk  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 4B;fH_k  
+ 5g Ed  
　　对于任意非直角三角形,总有 '{vLJ*ED  
gLA{#|^o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q} R/;j  
O-'AL]8K  
　　证: %*= b6;S  
Sb7 '%QXh  
　　A+B=π-C H0d6 w&gr  
)Q|pg&&bM  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ~L.q69#*  
I{t:fO1-[  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) QXliYF  
`XR>p`f@w  
　　整理可得 ZHKp\X  
EIY*!]^sY  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC D h+bnDe  
n<9gdLp|  
　　得证 3JHp$Y  
a|s) ^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ]?bPfB2  
 `~@uds  
其他非重点三角函数 Z-7$3Hg\[  
fN&w \  
　　csc(a) = 1/sin(a) dF Y^  
0dq,u=.  
　　sec(a) = 1/cos(a) L8#/*[5>|Z  
QCvv:@8y  
　　 `+b{&.  
Eg\(F-Y.I  
双曲函数 W\=U/M2  
0N) g$  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ;vfk~Kfh  
TFq,A*>  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 [ +yfLJ  
-"0@F?r d  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Z(oRtv\  
~[Rr|bz  
　　公式一： ~ D-\ Cz  
Add!J0)(  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 9kNw%9gA8  
HzxO$VL3  
　　sin（2kπ＋α）= sinα cS 3 jH*  
&:% za!)  
　　cos（2kπ＋α）= cosα a~</'4Um  
X*EAz E  
　　tan（kπ＋α）= tanα V h4smQ  
$k|<*7T  
　　cot（kπ＋α）= cotα P6M4TBka]  
jm[{dF_  
　　公式二： p/~> LUk  
QV+PeNT(  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： r^s {J  
[OB<i50"  
　　sin（π＋α）= -sinα RTfjWk@N  
^C5zE |  
　　cos（π＋α）= -cosα v/m}S]-  
hW?m(pz^  
　　tan（π＋α）= tanα ~28LDi7Z.F  
1F?,&p  
　　cot（π＋α）= cotα >,Yp Y  
H[.d@lU%M  
　　公式三： }~n)t{  
s/I#g|-^V  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +.vi'%P]E  
geQ HOa  
　　sin（-α）= -sinα cUu D  
R0lr#MW  
　　cos（-α）= cosα Zl)w9)?  
6k\c<x  
　　tan（-α）= -tanα 5jlH c:;e  
FzEd1acM  
　　cot（-α）= -cotα JhCP7g:69h  
\vx6[e$L  
　　公式四： &X f/],+  
nj[&|1Ga  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 7I&7Q$qz`f  
s!!7|>  
　　sin（π-α）= sinα fV e}zZ)LD  
0X %ZwO  
　　cos（π-α）= -cosα \RGPa#r98<  
=P~N -%]X\  
　　tan（π-α）= -tanα 4 qg27+   
O{VDxu4(bM  
　　cot（π-α）= -cotα JHr})dvvh  
dprl(7  
　　公式五： #^?qXb  
x$jO%.R(ij  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： y8X$t1_mZ  
V_, q *  
　　sin（2π-α）= -sinα E{ fb)ae  
+";u^/   
　　cos（2π-α）= cosα j# 5`10  
rj>.57L4   
　　tan（2π-α）= -tanα B#f~  
Ai+B#.3{  
　　cot（2π-α）= -cotα YLwf+$ Y,  
~9Bw[(?UC  
　　公式六： R=HZW[8"  
?R| dAb^M  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： b-O/m  
eTviQl =h  
　　sin（π/2+α）= cosα AP4FIx)  
lA-&4A6:n  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?uZO1~} u  
oeZa^d;xP  
　　tan（π/2+α）= -cotα O`zoxmw,  
nusr^yT|  
　　cot（π/2+α）= -tanα $dOsd__'Z  
NQ~.[&  
　　sin（π/2-α）= cosα )tWuq2 v  
fJKLr2r  
　　cos（π/2-α）= sinα ^%+FB"  
,cIb=a_1  
　　tan（π/2-α）= cotα S%e "^u  
R!Oya&  
　　cot（π/2-α）= tanα  1pyRl  
L9:P ''3$  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2J[,}p8  
Ova]AJ 7  
　　cos（3π/2+α）= sinα JcoaNXd=i  
Gu9H)F(nQ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα b5%7qT<w  
["zpUld=  
　　cot（3π/2+α）= -tanα "1^L~ #hEm  
D}K4o?Ft  
　　sin（3π/2-α）= -cosα WUpO<XDuQ  
]*dO&"K  
　　cos（3π/2-α）= -sinα J_RwT15xt  
L[HJ 0b9  
　　tan（3π/2-α）= cotα K6'2!QYp  
Mh[BW0lS,  
　　cot（3π/2-α）= tanα #9 hi  
ty+l+`,  
　　(以上k∈Z) nnsU{eYnHv  
lsaz+QV<o  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~rHvsC=+  
<+kl`Rl:W  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *^Krc"76+  
py%K":=&H}  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } UF/ !\x$  
6N?fPp<]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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