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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 r3.r??&  
Yk|)g  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. #[U|b 5Ja/  
>P\vBZ  
　　1、三角函数本质： a-7qnM  
jT;Q/2 g  
　　三角函数的本质来源于定义 U;2 HtA  
NN`1D;2  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 HjA,h  
x=4xB{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ?ujiXi xZ  
b=qSq}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5MU;ZJ?M&  
SRU&FW%{  
　　推导： W+hL>lI)  
{x^~8x3G  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 %}5FSGu:  
zi |j9I-  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >~[:-4,  
(>8(Sw-M  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y4#T@`VF  
o9 .^:g\]_  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 `+RTEntz  
@K T5>t}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） T2|%Zen|  
n|8T ")  
　　[1] 4 &}VKo)  
>g,p[<n0*  
　　两角和公式 o%U:6&*#  
bGmiKU \4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 2 xH  
zam cZL   
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  x+%$)|  
N"tLd60  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB U,S ^g [?  
CZzH !  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB @hq ma>tG$  
>8,c>6F  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !IdT(J5  
f`9z(&f(r  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) oK&t3J`  
KE^.8@5#  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n{XR$.+(&  
sLl%O4)ul?  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) s d!/N,  
xG L_XMX  
倍角公式 poP#[p7  
YXIE,yJ  
　　Sin2A=2SinA•CosA &T*H^_jp3  
=mnuaJ"7  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 MNsv!dI  
RQr$;,o  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） BRo=Ga~3O  
EB`- }k  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） c1z]P!v  
fKQ0zj X  
三倍角公式 ;sA ! q#  
,gY3wzY:  
　　 _#$iJ=EhM  
hzT,/(cR  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) U-JHS#3~4  
C3GSf%:?A  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4~{6P z  
<c6}EV1lB  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) KBUzY ,  
%|o(7  
三倍角公式推导 52%S\ny9q  
72a1|\K  
　　sin3a F1X2_#^;}x  
7 q#kF!2M  
　　=sin(2a+a) fDB^M76  
D^dj[W&.  
　　=sin2acosa+cos2asina y 7\Z@v  
+{@57$?X  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina .I:feo]k  
|nL<z T\  
　　=3sina-4sin³a -_Xnh\PI  
mg c ! i}P  
　　cos3a rE%oep  
4u*}\ h  
　　=cos(2a+a) 9YP gAk' +  
pB3b8L!AB  
　　=cos2acosa-sin2asina enb<=G9  
` ,`EHO  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa yCd^|=K  
"ww>=g?\W  
　　=4cos³a-3cosa "oEXk,  
V%OiPo}6  
　　sin3a=3sina-4sin³a n^nlYIG7  
?v7PC3,S  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,@-P  
pCRSkaQ*26  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 2`R >t=tF  
mL}m|Y  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) U$i{*g#1  
6GZ{fp  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CfU:)>6]  
9(*;D*Bxw  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6zar@+hi  
< q>a&U  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) yU-0p /;  
G4]z}yBm,  
　　cos3a=4cos³a-3cosa RgoRi= 2  
/We+pa3CLf  
　　=4cosa(cos²a-3/4) [#1$4Tl>  
!]fj  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] waz8:f~  
H(rp^@:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) "2(zW=H.  
cYcSJ#XX  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) F.<]/_SLN  
x_S n/w"  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} h?IM5P]s'  
0>EKP}b  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `oM8 6ci  
YL`Ml ,k7  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =X2e&v53  
lWY5g!uj  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] rmM,   
SG#d,Q_  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) j.Zj/rK  
 *$ 7$t,G  
　　上述两式相比可得 ,KKf=h.t`  
=%e p%%  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) n"C&y(Zv.  
.D$t>u%S9  
半角公式 W{br UR  
+ )7Img bL  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); |W"Q[{Z  
HBG`^ 6  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. q"6[gnUU3  
9&m2O*+WB  
和差化积 AAB<,\+-  
A[geqpj(  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] k"e w3  
9M* kF5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "F>#d$$PIu  
s0 +-b  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] C,;f]];.  
wwFwI)`Zy  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] K$ HdR  
n=WISY`$U  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) $iQja!f+[  
E3(p-+ / ?  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) [^=F vjd *  
c!RZid.  
积化和差 oZ~\  
p,<(2  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ih2}nruV_  
)*s3x;:o  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] n(A[;|gf%  
Hn.2kqaC  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] :!}"SRuB  
d,bNC8w  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] T!(.E5H{  
p$!8(It  
诱导公式 `]%f6r  
QfDCic  
　　sin(-α) = -sinα ]+Qp3`~X  
6Vzt[=  
　　cos(-α) = cosα qu273He  
J^PH ok8%  
　　sin(π/2-α) = cosα Bmmzn  
47St=Q(  
　　cos(π/2-α) = sinα viB6Pc$g  
Fh"'h7!P  
　　sin(π/2+α) = cosα brXY5  
z9&^  
　　cos(π/2+α) = -sinα 'XF5QUZo  
l<>( \Y x  
　　sin(π-α) = sinα ~*UK2ZQe  
kt$:;dYh2  
　　cos(π-α) = -cosα )W|/I+s{  
d/|oZ|nQ4  
　　sin(π+α) = -sinα @1,PKez  
PiOqGQV  
　　cos(π+α) = -cosα @2Vdp mwT  
\!bqr:  
　　tanA= sinA/cosA "1;gu?@z<  
Wq-?+UV mL  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4tX,TDgrN  
+1fbxm  
　　tan（π/2－α）＝cotα Rg V=[G<  
(oyup&$%  
　　tan（π－α）＝－tanα ; OJpjo~g  
=L2Ad,  
　　tan（π＋α）＝tanα XM<Q |#  
V8CK d2M1  
万能公式 fP]e~P3Rb  
=bGkZ;  
　　 \j>V=o^  
%}kA+YbD  
其它公式 /!HA-]d5  
-l]>?,4~Zt  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ](#\a9a  
Y<@sOr4g"  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 JpfZ )b~  
7-P}6Dl  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 `%k E"Wd  
mPd`7BbDF  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 P~=9[(Go  
rx.l,1NK  
　　对于任意非直角三角形,总有 |x'dl=  
z#iZ[QX  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC </3OY  
xNm;B"^%sB  
　　证: xl=#72GqOS  
vPc  
　　A+B=π-C .p}V<LU  
Gpj^Z|> /}  
　　tan(A+B)=tan(π-C) =Sbxqfl4<  
+`  \kM=n  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) p%+4V\P  
F,4~,$"B(S  
　　整理可得 7:!e[|hRi  
A{_dMQ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC S. ^v"U  
4$99c<_Y  
　　得证 olI=D*"<  
k|5 %$]H  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Az tw]"  
N\pUlC'f`Z  
其他非重点三角函数 V- zec@h  
"8QV5a$q  
　　csc(a) = 1/sin(a) eG{aJ  
&g}j\Q  
　　sec(a) = 1/cos(a) mtInK{~R  
U9mLO`N  
　　 UkDd|)rX  
"Hzvnm7HW  
双曲函数 FI;*.ystsk  
^YKUrG3  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ++9)&L r  
,YG?80{Iw{  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 xnz g  
qt}suWD  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ,! v!  
Suxk?{B3w  
　　公式一： 3=BNj  
WlED. )z  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sL-14Gj)I  
vV9Z;4   
　　sin（2kπ＋α）= sinα H "ecqY1  
9>(@ULE+k  
　　cos（2kπ＋α）= cosα hX^B<"  
J"~/q_!  
　　tan（kπ＋α）= tanα p^%TW %'q  
2hLHImB7<  
　　cot（kπ＋α）= cotα o +E;SRx  
//Y-RLx*ub  
　　公式二： 7!h2(+3*J<  
LiY;[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： '* 7yRbJC  
'" _ZO  
　　sin（π＋α）= -sinα g)EX@nI  
lJ.3I!  
　　cos（π＋α）= -cosα * ypdc;}  
'AKl h6 x  
　　tan（π＋α）= tanα 3i1M3i_r  
;OB;%sVY+2  
　　cot（π＋α）= cotα LH fw6K  
rqa]6  
　　公式三： {xF29F;A  
',{>E ?  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 1U28!K,x  
e:5t~6 W(  
　　sin（-α）= -sinα `?S!j@NR  
\btM=&  
　　cos（-α）= cosα ;|\ 2H Y  
g c`BA3J:  
　　tan（-α）= -tanα xAe"stS3  
, 1{)*!h  
　　cot（-α）= -cotα I>[}EH5  
Z- d4KF  
　　公式四： Lj9?k .#  
KV DJ4  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： j)nj 29f  
(@:MtFMwv  
　　sin（π-α）= sinα 9(=eLzMfp  
fU1`|&>1  
　　cos（π-α）= -cosα K&Sj:qm  
v@[8rl)X  
　　tan（π-α）= -tanα >TxN|)k O|  
3dKl+(y8e  
　　cot（π-α）= -cotα x4A=1))  
`z4i}54bw  
　　公式五： uK&}u+\n  
a+&%\<U  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  =65r'^RL  
A0TdOly%  
　　sin（2π-α）= -sinα xFz$|)\JG  
9S;Aq!H//'  
　　cos（2π-α）= cosα 1C[TP31"  
Bq0rr  
　　tan（2π-α）= -tanα 2u/~iOO  
"] uy  
　　cot（2π-α）= -cotα E .0q'&6  
da+YUa6 +  
　　公式六： +'nEbfC\  
z%^t=A(  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： _r^RIQq8H  
HO}'7PBb  
　　sin（π/2+α）= cosα PORI`c  
/[+?y)Z0w  
　　cos（π/2+α）= -sinα b77-0&A  
|cYMm T&  
　　tan（π/2+α）= -cotα ^ _ g B  
Gs0sK@B  
　　cot（π/2+α）= -tanα j %x9D[N<  
:NX<FWK  
　　sin（π/2-α）= cosα UBT~Mt>n  
~u!jf\2k{F  
　　cos（π/2-α）= sinα HDSbFApY  
cCUE&-  
　　tan（π/2-α）= cotα +D:4$q4  
M"coNrI=  
　　cot（π/2-α）= tanα 0-oB -t/  
%Nyz(W.m1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2rRH,pECz  
kZs 3]5JgC  
　　cos（3π/2+α）= sinα DuHP?$!2  
!L5#YTr  
　　tan（3π/2+α）= -cotα MZj^f T_  
jXE1Wp="#|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ,^YAR4  
D(=4 :  
　　sin（3π/2-α）= -cosα L[+k|V{DC3  
o@ E+A3^G  
　　cos（3π/2-α）= -sinα B7o/i"c   
#zvpSD1!  
　　tan（3π/2-α）= cotα #"3*kt~0  
1Jd` L#  
　　cot（3π/2-α）= tanα 8xaIdT5!  
"~{Ghy  
　　(以上k∈Z) U(j !7=P  
ub( Up)@  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 CrkZeE4=p  
|p+1j.lW5  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = qU5K"+ ?  
=Dl Oi  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `0&p~Nmn#  
q/gnnb-  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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