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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 scJg$Ob?  
95jr4=#k;  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. f| mr   
c o5F2*  
　　1、三角函数本质： vJ53 .W,z  
<'.C&8 {=  
　　三角函数的本质来源于定义 /huq_83?  
#i$lw!* b@  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 %CBD a  
V(Vla>4I  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 {zY"D)gLx  
2QQKf VTq$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： V 4~Lr  
=0fgie  
　　推导： ~l[b|bwA  
$\b2XgG`;!  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 /9LC}?A;  
|jv#6'  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) +=_u> o7  
T=1b\JF*,  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 3SxgV|O 7p  
c6g wSb_;  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )]C|.\*f  
Axo. 5e~+  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） g& *MNj  
.dNMD0t(Tt  
　　[1] vm%D Od  
26ll&2!  
　　两角和公式 G!)>IM  
Q~f 2G#O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S;OH#$VCw\  
JUPgQ'k7g  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  i$K$9N]G  
p7b?EZ8 ?8  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 5'Wi]}5^  
V4|Cdmz|W-  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB O{>S$2r  
1[~-)j?H  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) SttRn{  
j\ep-Q,$$  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) =iH'@  
h* &a1I  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Y!Ss'O_G  
{j]-q  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) XA k\dqj  
:lQ{?%S&<  
倍角公式 LM: G]5  
a[,~Ggf(J:  
　　Sin2A=2SinA•CosA t@O*B.?WZ  
uHj mTC   
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 s Y9~m`  
pn|7S2  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） `j{4?ybkL  
o J>Y7/  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） F ZeK3Rl>  
QVV$TI M  
三倍角公式 'UX})O"@  
Q"NzTh1u  
　　 @sc1og*;#  
smQ@$$z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) mK3&|T  
2H={e*Q\B  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) a!s53o mn  
(F 40?<{xW  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) hWkG!+GI  
na{~B<}8|  
三倍角公式推导 N-gnUf}q  
ytxzO6L  
　　sin3a Z)cn5W  
:VNQe%x{  
　　=sin(2a+a) Y{zi  
t A9<@^GK  
　　=sin2acosa+cos2asina KT;CGra`  
gIS/PJ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina NBodHU  
^? WS<V/  
　　=3sina-4sin³a ;o\7[Ni31  
eDg&/s>  
　　cos3a ]u@ej  
m}Z$E; J{  
　　=cos(2a+a) MD=O>=}Ak  
!MQ`W~VyZ  
　　=cos2acosa-sin2asina KP;:8,k2  
hQm(=2.}d  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j"IQZ:HL>  
;n R'X  
　　=4cos³a-3cosa lwI= x?  
'W=Av6#>  
　　sin3a=3sina-4sin³a NSxo%-POc  
zEOIAuA  
　　=4sina(3/4-sin²a) Ee9^#Qh@  
si`:  J  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] sx4fq  
ow7dB(6jL:  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) YJ%\U8W  
vd~lJ-LGx  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ,(Ea^8O  
/d(S,u`n  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] U`<"N}  
(1 ~XH  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z!hP@g3  
q{ZQWI7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^(qP'OfH  
6 * }s<PI  
　　=4cosa(cos²a-3/4) vmPDz A`  
+6+aBgP]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] J:$5@Cm  
?,[h_@  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) IX!s+#(,  
D#\Y1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) z@^[Yw+^:  
E9~s$#?'",  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 8AZLss!  
aNDj c2V"  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @Y(4IJ  
e# 7)5-$  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] m!_7g2ta  
? gcOh(uu  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 9"}Lplh  
p5X9C ^  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Q#4",  
WOI~TFt/0  
　　上述两式相比可得 xEBuaB5s-P  
?/*:m;2R  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6h)[(r:  
7Q8U8t;,  
半角公式 < 4S  
J5`k(Y5|mT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); l/~  
(Q [j(/   
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0^sF k_  
b*Lgq^=  
和差化积 nJxzp-uB/  
YOgjtq J  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] BQBY/[+r.  
\Du VIA+  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] E&[+T sY  
6l"xkV5#G  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] vy=,n#^J  
)L-UL5YRB  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] e0 NQ~R  
MXh,KGz-  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) P'iR? 2  
iyup^-}]E  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ?T`NgX u)5  
4{I[ZcV9q  
积化和差 W}X ,52;  
HEpC >v;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] m `(a7 t  
8j=.)"1  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9fUG 2EQ#  
%4M/ w7p  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] )R+4W;km,  
sE(E%6%HSu  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] o$0s;@8(  
7T270lU  
诱导公式 f2O%xR'@  
yB ybI  
　　sin(-α) = -sinα *p mo*S/  
Z _Em?  
　　cos(-α) = cosα S_50WM  
Ta +>~Xg  
　　sin(π/2-α) = cosα DB 5;_ !  
J(DXL &'  
　　cos(π/2-α) = sinα >t`:ML  
G7rh/}uav  
　　sin(π/2+α) = cosα Yg93_f} -  
~`GMkZ"t{3  
　　cos(π/2+α) = -sinα os@;|/ !a?  
ygF kz  
　　sin(π-α) = sinα gLtglqx  
y!]A+\l  
　　cos(π-α) = -cosα vLsb%_/>  
AO!:Pxy  
　　sin(π+α) = -sinα 29gV[>]|*  
0Q~.iJH  
　　cos(π+α) = -cosα 2p<LM6GPv  
x8.CM.C  
　　tanA= sinA/cosA ~s>#`yc  
ao`JaP"  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα hgH`;"e^  
[cU%n D`  
　　tan（π/2－α）＝cotα h+/+v]i  
*<k,t=y8*  
　　tan（π－α）＝－tanα >NbxCT*  
gDGo?Eu`  
　　tan（π＋α）＝tanα g.([)FXB  
~LfBbsa  
万能公式 !VjfpR T  
,&Ka=  
　　 yjG%rwxE  
iVa+w3H9]  
其它公式 >m[Nx[  
fq%q)7a{  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 e:U+wRAhy  
Xk`zE v  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 NAh1 KBV  
fE[yE&?6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 rx>um+I  
6/@=JMO  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ^`#= 0e  
QP3*gON  
　　对于任意非直角三角形,总有 Ui L zU);  
qCSFyI  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @7,Y|v  
FB[~jg4  
　　证: %61A.Sv!6  
8 "FF."  
　　A+B=π-C X!!  
)C3#uFFG  
　　tan(A+B)=tan(π-C) m)8ylo, l&  
XE(u+]|O  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) K{lS#  
mhF28  
　　整理可得 O.o,,)X9rQ  
_;mxY$vV  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC OlZ=Zbo  
9";{!` >  
　　得证 g;'RpD;$  
5KA6kxe'S  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 c?l-KWi(B  
Gj7I^9},  
其他非重点三角函数 O ZAR{~x`v  
Gc:v]9J  
　　csc(a) = 1/sin(a) sN'ZyKF  
,JZs5H]  
　　sec(a) = 1/cos(a) (]og4\CI  
H. x&`'m  
　　 28e!W/G#  
;DZ;kNEE  
双曲函数 LeHZZP  
^"+Y._  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 hHj a_=  
KZ Qy[  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 y!*oTtX  
"S`z 0rG  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) @Y{e _y[  
\+/UXeq81  
　　公式一： ZSQEvJ!  
TlQ-"UV  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： VqbqSOVc  
JnU8))aEt  
　　sin（2kπ＋α）= sinα bIe2}B{\O  
b9@oW^HM  
　　cos（2kπ＋α）= cosα y<.(,\h  
GI[4kJQ2)  
　　tan（kπ＋α）= tanα 3j0Nq;q  
?E;TFH&T&  
　　cot（kπ＋α）= cotα EE)_x9IS 5  
QPjXM zccj  
　　公式二： w=:}.H  
/YUq{Yq  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： R:tpW`.n  
x d9)[  
　　sin（π＋α）= -sinα CB#]u+8  
_8b+{0sM}  
　　cos（π＋α）= -cosα =`K:87cR  
*jV{|w *C  
　　tan（π＋α）= tanα \>gU`/1b  
|L!KqI%yPS  
　　cot（π＋α）= cotα N}R>Y1O,  
%|'YTx^\Q  
　　公式三： bLGzf)#u  
wXh)~=_  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Y}dK|V  
[&zVF-O  
　　sin（-α）= -sinα t QKJ/06  
(zSy{ (  
　　cos（-α）= cosα }Jn\(D  
~n`W-K$R  
　　tan（-α）= -tanα 3 iX |q"  
t{G 3H8hoa  
　　cot（-α）= -cotα 44hXa(7[L>  
G_~ FQ  
　　公式四： S"Z9{u*  
{LpT9-h|  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =9/_y5Gq)z  
sg: H "{f  
　　sin（π-α）= sinα g<ss" ~  
}tcb4kV%  
　　cos（π-α）= -cosα :tQy_b!"  
N6Nm=8az5j  
　　tan（π-α）= -tanα CL9{B0d$f  
i#ID?CQ">+  
　　cot（π-α）= -cotα &6D1; ]  
A'R>rOj  
　　公式五： %kOu 3jESs  
%^j ;T .?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： W5uZj>  
'N>d.{d /  
　　sin（2π-α）= -sinα Q$)- lla8  
l~ 'R13#E  
　　cos（2π-α）= cosα tXiS}oL  
/8:'KaEL  
　　tan（2π-α）= -tanα ]X~6 5  
$: RLb2(L)  
　　cot（2π-α）= -cotα {J{(ofa  
wGY~E$#}<M  
　　公式六： |bbni4|  
GI G<E6BP  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： N6awo#>  
c3jLuXjn  
　　sin（π/2+α）= cosα )j;Uf(P  
a.e6oqc4U5  
　　cos（π/2+α）= -sinα 0GmUQ*V)a  
'U27+=0o  
　　tan（π/2+α）= -cotα ubyg80<Dk  
=pta6G  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2G |0  
}p`x@"A &  
　　sin（π/2-α）= cosα tA`i9V)CU  
V$':Y}R<so  
　　cos（π/2-α）= sinα }+! [y  
xn }QZJ)  
　　tan（π/2-α）= cotα #5v, TYI  
S\rA&c+  
　　cot（π/2-α）= tanα p); j~m  
oBIa x1 t  
　　sin（3π/2+α）= -cosα sQcgd )  
u*(!?D'x8  
　　cos（3π/2+α）= sinα #gp:mw5=\K  
FWos8lrs  
　　tan（3π/2+α）= -cotα .VEy(  
U|C!+6 XK  
　　cot（3π/2+α）= -tanα bPD I-vDP  
V+///2C  
　　sin（3π/2-α）= -cosα b0evqg5u  
qc5!2(3UH  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `z4@VlV(  
uo4l4@b  
　　tan（3π/2-α）= cotα B{=82Is4  
Ck[nplyr*  
　　cot（3π/2-α）= tanα Si=(R&6  
jTf>4,BQ.  
　　(以上k∈Z) IlH4qg!opR  
Ws, 6vDR  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 b/{t c  
u; W|'&OV  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = *O5y,$<,  
s7kxP&v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } {m"L i3sl  
`w1ThIkgyP  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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